Dos problemas con un Tema

Nuestro primer problema es muy antiguo; data del gran científico griego Arquímedes (287-212 A.C.). Nos referimos a ese problema como el de la “Línea tangente”.
Nuestro segundo problema es mas reciente. Creció con los intentos de Kepler (1571-1630) Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727), y otros, por describir la velocidad de un cuerpo móvil. Es el problema de la velocidad instantánea.
Los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no tener mucha relación. En este caso, las apariencias son erróneas. Ambos problemas son gemelos idénticos.

La línea tangente
La noción de Euclides de una tangente como una línea que toca a una curva en un solo punto este bien para el círculo, pero es del todo insatisfactoria para la mayoría de las demás curvas. Es mejor la idea de tangente en P a una curva como la recta que mejor se aproxima a ella en las cercanías de P, pero todavía es muy vaga para la precisión matemática. El concepto de límite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripción.
Sea p un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de esa curva, próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q, llamada secante. La recta tangente en P es la posición limite (si existe) de la secante, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.
Supóngase que la curva es la grafica de la ecuación y= f(x). Entonces, P tiene como coordenadas (c, f(c)), y el punto cercano Q tiene como coordenadas (c + h f (c+h); la línea secante que pasa por P y Q tiene como pendiente m sec.
Figura 1


P
Recta Tangente en P



RECTA TANGENTE EN P
figura 2


m sec = f( c+h) – f(c) / h






FIGURA 4

En consecuencia, la línea tangente-si no es vertical- es la recta pasa por P con pendiente m tan que satisface
m tan =lim m sec = lim (f(c+h)-f(c)/h
h 0 h 0

Ejemplo 1.- Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y= f(x) = x2 en el punto (2,4).

Solución:
La recta cuya pendiente buscamos se muestra en la figura 5. Es claro que tiene una pendiente positiva grande:

m tan= lim f(2+h)-f(2)/h
h => 0
=lim (2+h)2 - 22/h
h => 0
=lim 4+4h+h2-4/h
h => 0
=lim h(4+h)/h




VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Si conducimos un automóvil de un pueblo a otro durante 80 millas en dos horas, nuestra velocidad promedio será de 40 millas por hora. Es decir , la velocidad promedio es la distancia entre la primera posición y la segunda, dividida entre el tiempo consumido.
Pero durante nuestro viaje, el velocímetro con frecuencia marco lecturas diferentes de 40. Al principio, registraba 0; a veces subió hasta 57; al final regreso a 0 otra ves. ¿Qué es lo que en realidad mide el velocímetro? Es cierto que no indica la velocidad media.
Considérese el ejemplo más preciso de un objeto P que cae en el vacío. Los experimentos demuestran que si empiezan en el reposo, P cae 16t2 pies en T segundos. Entonces, cae 16 pies en el primer segundo y 64 en los primeros 2 segundos; claro esta que cae mucho más rápido a medida que transcurre el tiempo.
Durante el segundo segundo (es decir, en el intervalo de t= 1 a t= 2), P cae (64-16) pies. Su velocidad promedio es

V prom = 64-16/2-1= 48 pies por segundo

Durante el intervalo t = 1 a t = 1.5, cae 16(1.5)2 -16 = 20 pies. Su velocidad promedio fue de
V prom = 16(1.5)2-16/1.5-1 =20/0.5= 40 pies por segundo



En forma análoga, en los intervalos de tiempo de t = 1 a t = 1.1 y de t=1 a t = 1.01, calculamos así las respectivas velocidades medias:

V prom= 16(1.1)2-16/1.1-1= 3.36/0.1= 33.6 pies por segundo
V prom = 16(1.01)2-16/1.01-1= 0.3216/0.01= 32.16 pies por segundo

Lo que hemos hecho es calcular la velocidad media sobre intervalos de tiempo cada vez mas cortos; comenzando cada uno en t=1. Cuanto mas corto sea el intervalo, mejor nos aproximamos a la “verdadera” velocidad en el instante t=1. Observando los números 48, 40,33.6, 32.16 se podría suponer que la velocidad instantánea es 32.
Pero seamos más precisos. Supóngase que el objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en el momento t esta dada por s = f(x). En el instante C el objeto esta en f(C); en el instante próximo c+h esta en f(c+h). Por lo tanto, la velocidad media durante este intervalo es

V prom= f(c+h) –f(c)/h
Y ahora definamos la velocidad instantánea V en el instante C mediante

V=lím v prom= lím f(c+h) –f(c)/h
hà0 hà 0

En el caso en que f(t) = 16t2, la velocidad instantánea cuando t= 1 es
V=lím f(1+h) –f(1)/h
hà0
=lím 16(1+h)2 -16/h
hà0
=16+32h +16h2 -16=h
hà0
=lím(32+16h)=32
hà0

Esto confirma nuestra suposición anterior. Ahora se puede ver por que llamamos gemelos idénticos a la pendiente de la recta tangente y la velocidad instantánea. Observa las dos formulas de los recuadros de esta sección. Dan nombres diferentes al mismo concepto.

Simbolos de una Derivada

Historia

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz.

Simbolos:

El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.

Newton usó el apóstrofo para representar la derivada de una función. Así, para la función f(x) se representa su derivada como la función f'(x).

Leibniz en cambio usó una delta minúscula de la función (usada a veces como una d latina) siempre haciendo referencia a la variable respecto a la cual se deriva.Así la derivada de y respecto a x es dy/dx

En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:
dy
y
y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim
dx
!x
x

Los símbolos dx, dy y dx/dy, para las derivadas, fueron introducidos por Leibniz.Los símbolos f´(x), f´´(x), etc. para las derivadas, fueron introducidos por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.El símbolo d para la derivada parcial fue usada en 1770 por Antoine-Nicolas Caritat, marques de Condorcet en Memoire sur les Equations aux différence partielles. Jacobi usó este símbolo extensamente, por ello se le suele llamar la delta de Jacobi.